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Turbolenza di Kolmogorov

La turbolenza in un fluido si origina da instabilità del moto laminare quando il numero di Reynolds Re supera un certo valore critico Recr. Il numero di Reynolds è definito dalla quantità adimensionale

\begin{displaymath}Re(L_0) = \frac{L_0 v_{L_0}}{\nu}
\; ,
\end{displaymath} (1.21)

dove L0 è la dimensione caratteristica del sistema, vL0 rappresenta la velocità caratteristica del fluido alla scala L0 e $\nu$ è il coefficiente di viscosità cinematica. Il numero Recr dipende soltanto dalle caratteristiche geometriche del flusso ed è, in genere, dell'ordine di poche migliaia.

Per l'aria $\nu\approx 15\times 10^{-6}$ m2s-1 e per l'atmosfera L0>15 m e vL0>1 m/s, per cui Re(L0) > 106 ( $\gg Re_{cr}$), che corrisponde ad un regime turbolento. Kolmogorov [Kolmogorov, 1941] suggerì che, per valori così grandi del numero di Reynolds, l'energia dissipata per frizione viscosa è trascurabile rispetto all'energia che alimenta le perturbazioni della velocità alla scala L0, che viene, dunque, integralmente trasferita alle scale più piccole. Il passaggio di energia tra scale diverse è dovuto ai tipici processi non lineari che regolano il moto di un fluido. Ad ogni scala $\rho$, per la quale $Re(\rho)=\rho v_\rho /\nu$ rimane ancora molto maggiore di Recr, si ha un comportamento simile, instaurando un regime in cui l'energia per unità di tempo e di massa $\epsilon$, introdotta nel flusso turbolento alla scala L0, si trasferisce (senza perdite) di scala in scala, alimentando la turbolenza a scale sempre più piccole. Giunti alla scala l0, per cui $Re(l_0)\approx Re_{cr}$ ( $l_0 \approx 1\div
10$ mm), l'energia cinetica è dissipata in energia termica per attrito viscoso e il processo di trasferimento di energia ``a cascata'' si arresta. La scala L0 è chiamata scala esterna (o outer scale) e l0 scala interna (o inner scale).

Nell'intervallo $l_o \ll \rho \ll L_0$, detto intervallo inerziale, gli effetti dovuti alla viscosità sono trascurabili ( $\rho \gg l_0$) e la turbolenza può essere considerata isotropa ed omogenea ( $\rho \ll
L_0$), per cui la struttura della turbolenza è regolata soltanto dall'energia per unità di tempo e di massa $\epsilon$che viene trasferita di scala in scala. In un regime stazionario $\epsilon$ deve coincidere con l'energia cinetica perduta dal fluido, cioè con l'energia dissipata per unità di tempo e di massa $\epsilon_0$ per attrito viscoso alla scala inferiore l0.

Consideriamo la funzione di struttura delle fluttuazioni v'i e v'j di due componenti ie jdella velocità (i,j=x,y,z). Questa è definita da

\begin{displaymath}D_{ij}(\vert{\mbox{\boldmath$\rho$ }}\vert) = \left\langle \l...
...v'_j({\mbox{\boldmath$\rho$ }}_1)
\right]^2\right\rangle
\; ,
\end{displaymath} (1.22)

dove ${\mbox{\boldmath$\rho$ }}_1$ e ${\mbox{\boldmath$\rho$ }}$ sono due vettori nello spazio occupato dal fluido. Per quanto affermato in precedenza, essa non può dipendere da altri parametri che il suo argomento $\rho=\vert{\mbox{\boldmath$\rho$ }}\vert$ e il tasso di dissipazione viscosa $\epsilon_0$. L'analisi dimensionale impone che valga la relazione

 \begin{displaymath}D_{ij}(\rho) \propto (\epsilon_0 \rho)^{2/3}
\;
\end{displaymath} (1.23)

Con i lavori di Obukhov [Obukhov, 1949] e Tatarski [Tatarski, 1961, par. 3.4] si è potuto dimostrare che vale la stessa legge di potenza per la funzione di struttura Dndelle fluttuazioni $n'=n-\langle n \rangle$ dell'indice di rifrazione n. Poiché Dn è positiva per definizione, viene scritta nella forma

 \begin{displaymath}D_n(r) = C_n^2 \rho^{2/3}
\; ,
\end{displaymath} (1.24)

dove il coefficiente Cn2 (misurato in m-2/3) è chiamato costante di struttura delle fluttuazioni di n.

Si ricordi che la validità dell'eq. 1.24 è limitata all'intervallo inerziale $l_0 \ll \rho \ll L_0$, per cui Cn2 potrà essere considerato costante in regioni non più grandi di L0. Negli anni '70 sono state eseguite misure di Cn2 in funzione della quota h [Bufton, 1973,Barletti et al., 1977] che hanno evidenziato la concentrazione della turbolenza in strati con uno spessore tipico di 100 m (che risulta una stima di L0), in cui Cn2 cresce variando di più di un ordine di grandezza. Una volta regolarizzato, il profilo Cn2(h) presenta il tipico andamento mostrato in fig. 1.3, in cui si possono distinguere due strati principali: uno strato inferiore, fino a $\approx 1$ km (Planetary Boundary Layer), soggetto al ciclo giornaliero di riscaldamento dovuto al Sole, e uno strato superiore (Atmosfera Libera) influenzato soltanto dal ciclo delle stagioni. Il picco di turbolenza a $\approx 10$ km è dovuto ai forti venti presenti in tropopausa, dopo il quale Cn2 decresce nuovamente e si può considerare nullo per $h\mathrel{\mathchoice {\vcenter{\offinterlineskip\halign{\hfil
$\displaystyle ... km.

  
Figure: Profilo medio di Cn2. Linea continua: profilo notturno. Linea tratteggiata: profilo diurno
\begin{figure}\vskip 8cm
\end{figure}


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Armando Riccardi
2000-05-10